1 题1
解：（1） 划线法求纯策略纳什均衡
观察，乙的策略‘中’严格小于策略‘右’（\((1,4,6)^T < (2,6,9)^T\)），剔除。 剔除后，甲的策略‘中‘和‘下’严格小于策略’上‘（\((2,3)^T < (4,6)^T\); \((3,2)^T<(4,6)^T\)），剔除。纯策略纳什均衡为（上，左)，如下所示：
(2) 混合策略纳什均衡
易见，博弈的混合策略纳什均衡为: ((1,0,0),(1,0,0))
2 题2
解：使用划线法求解。
首先，针对参与 者甲，对三个矩阵中每列’上‘’下‘两个单元中第一分量最大者划线，相等都划线。如下图所示：
其次，针对参与者乙，对三个矩阵中每行’左‘’右‘两个单元中第二分量最大者划线，相等者划线。如下图所示：
最后，针对参与者丙，对三个矩阵中每个象限对应位置（即甲乙二者策略组合）中第三个分量（丙的策略）最大者划线，相等都划线。如下图所示：
最终结果，三个分量都划线的即为纯策略纳什均衡。如下：
S
3 题3
解：（1）
观察，甲的策略‘B’严格小于策略‘T’（(1,0,3) < (2,1,4）），剔除。 剔除后，乙的策略‘C‘严格小于策略’R‘（(1,2)T < (2,3)T），剔除。 严格弱劣策略剔除后甲策略为T 和M，乙策略为L和R，不会被重复剔除策略过程剔除。
（2）
划线法知，纯策略纳什均衡为（M，L）。
（3） 设甲策略空间为\(（p,1-p,0)，0 \le p \le 1\);乙策略空间为\(（x, 0,1-x）,0 \le y \le 1\)。
甲的收益为\(V_1 = V_1(p;x)= 2 p x + 4 p (1-x) + 3 (1-p) x + 2 (1-p) (1-x)\)
乙的收益为\(V_2 = V_2(p;x)= 0 + 4 (1-p) x + 2 p (1-x) + 3 (1-p) (1-x)\)
由混合策略纳什均衡，应同时成立：
\[\begin{cases} V_1(x^*,p^*) \ge V_1(p;x^*), 0 \le p \le 1\\ V_2(x^*,p^*) \ge V_2(p^*;x), 0 \le x \le 1 \end{cases}\]偏导求解最优得：
\[\begin{cases} p^*& = 1/3\\ x^*& = 2/3 \end{cases}\]因此，博弈的混合策略纳什均衡为:\(S^* = (S_1^*, S_2^*) = ((1/3, 2/3, 0),(2/3, 0,1/3 ))\)
4 题4
候选人的战略空间为\(S_1 = S_2 = [0, 1]\),即每个候选人观点在[0,1]观点位置。
候选者1的收益函数为\(V_1\),
\[\begin{cases} 当s_1 < s_2 ，& V_1 = (s_1 + s_2) / 2\\ 当s_1 = s_2，& V_1 = 1/2 \\ 当s_1 > s_2，& V_1 = 1 - (s_1 + s_2) / 2 \end{cases}\]候选者2的收益函数为\(V_2 = 1 - V_1\)，即选民会被二人全部分配完毕。也即说明均衡点位于\(x+y = 1\)的直线上。
当\(s_1 < s_2\)时，或当\(s_1 > s_2\)时，都不存在纳什均衡。以下为证明\(s_1 < s_2\)时，不存在纳什均衡。
假设\(s_1 < s_2\)时存在纳什均衡\(s^* = (s_1^*,s_2^*)\),且总有\(s_1^* < s_2^*\),可以选取充分小的\(\epsilon > 0\)，让\(s_1^ \prime = s_1^* + \epsilon\), 且使 \(s_1^\prime = s_1^* + \epsilon < s_2^*\)。按照候选者1的收益函数知 \(V_1'(s_1^\prime , s_2^*) = \frac{s_1^\prime + s_2^*}{2} = \frac{s_1^* + \epsilon + s_2^*}{2}\)
由此得
\[V_1(s_1^*, s_2^*) = \frac{s_1^* + s_2^*}{2} \lt \frac{s_1^* + \epsilon + s_2^*}{2} = V_1'(s_1^\prime , s_2^*)\]上述不等式与\((s_1^* , s_2^*)\)是纳什均衡所定义的不等式矛盾，所以\(s_1 < s_2\)时，不存在纳什均衡。同理，可证\(s_1 > s_2\)时，不存在纳什均衡。
故均衡点只能位于 \(s_1 = s_2\)的点，由于均衡点位于\(x+y = 1\)的直线上。因此，候选者观点的纳什均衡点为\(S^* = ((1/2), (1/2))\)。
由于二者观点均衡，投票数相同，则通过抛硬币来决定候选人。假定正面为甲胜出，反之乙胜出。由于硬币出现正面与反面概率均为1/2，则通过抛硬币决定胜负的均衡为\(s^* = ((1/2), (1/2))\)。
5 题5
解：（1）候选人三个，且只关心能否当选。候选人的战略空间为\(S_1 = S_2 = S_3= [0, 1]\),即每个候选人观点在[0,1]观点位置。
假设\(S_1 \le S_2 \le S_3\)，则
\[\begin{cases} 当s_1 \le s_2 ，& V_1 = (s_1 + s_2) / 2\\ 当s_2 \le s_3，& V_2 = (s_3 - s_1/2 \\ 当s_3 \le 1，& V_3 = 1 - (s_2 + s_3) / 2 \end{cases}\]假设\(s_1 \le s_2\)时存在纳什均衡\(s^* = (s_1^*,s_2^*)\),且总有\(s_1^* < s_2^*\),可以选取充分小的\(\epsilon > 0\)，让\(s_1^ \prime = s_1^* + \epsilon\), 且使 \(s_1^\prime = s_1^* + \epsilon < s_2^*\)。按照候选者1的收益函数知 \(V_1'(s_1^\prime , s_2^*) = \frac{s_1^\prime + s_2^*}{2} = \frac{s_1^* + \epsilon + s_2^*}{2}\)
由此得
\[V_1(s_1^*, s_2^*) = \frac{s_1^* + s_2^*}{2} \lt \frac{s_1^* + \epsilon + s_2^*}{2} = V_1'(s_1^\prime , s_2^*)\]上述不等式与\((s_1^* , s_2^*)\)是纳什均衡所定义的不等式矛盾，所以\(s_1 < s_2\)时，不存在纳什均衡。同理，可证其他情况下的点不存在纳什均衡。
（2）候选人不仅渴望当选，且希望得票越多越好。根据上式，无法得出存在一个混合策略纳什均衡。
（3）如果不选优于落选，则不妨设当选收益乘子为1，落选乘子为-1，不选的乘子为0，由上式收益函数退化为二人博弈时的情形，此时是存在纳什均衡的。
